Cuenta el mito griego que Sísifo, para pagar las maldades que cometió durante su vida, fue condenado por los Dioses a empujar una gran piedra por la ladera de una montaña hasta la cima. Pero no importaba cuantas veces lo intentase, cuando estaba a punto de llegar, la piedra caía de nuevo ladera abajo haciendo que Sísifo tuviera que empezar de nuevo. Albert Camus escribió un bonito ensayo al respecto digno de se leído, pero a mi me gustaría reinterpretar el tema de manera algo diferente. Ahora estamos en tiempo de crisis, mucha gente sufre. Nuestra vida, tal y como nos describe Camus, a veces puede hacernos sentirnos como Sísifo cuando después de mucho esfuerzo, parece que la roca ha vuelto a donde estaba antes de que empezáramos a moverla. Pero como antídoto propongo repasar uno de esos pasajes de la historia de la humanidad, donde persiguiendo lo imposible el hombre ha sido capaz de alcanzar metas increíbles de las que aun hoy nos beneficiamos.
Una de de las historias más apasionantes del desarrollo del conocimiento, y que define a la perfección la persecución de lo imposible, es la de la búsqueda de la cuadratura del círculo. La geometría clásica griega impuso la norma de las construcciones con regla y compás. Cualquier problema geométrico podía ser resuelto mediante una regla y un compás ideales a base de diferentes operaciones con los mismos. Pero había varios problemas que se resistían a ser resueltos, entre ellos el que nos ocupa, dibujar un cuadrado con los instrumentos mencionados de forma que su área sea igual a la de un círculo dado, tal y como indica el dibujo de abajo.
(dibujo extraído de la wikipedia)
El comienzo de esta historia nos lleva al siglo V antes de Cristo, a Anaxágoras de Clazomene. Este filósofo griego, que marchó de su Clazomene natal hacia Atenas al ser esta destruida. Fue condenado a prisión por sostener que el sol era una masa de hierro candente, y la luna una roca procedente de la tierra que se limitaba a reflejar lo que el astro rey iluminaba. Mientras estaba en prisión estudió formalmente la posibilidad de cuadrar el círculo. En este punto es importante reflejar que los Griegos, a diferencia de los Egipcios y otras civilizaciones, se interesaban en esa parte abstracta y no práctica de la matemática, y distinguían muy claramente lo exacto de lo aproximado. Los Egipcios ya habían dado con aproximaciones muy certeras del problema, pero los Griegos, y Anaxágoras como iniciador del problema, se apartaban de la concepción práctica (de la que hablé en este otro post) y subían un peldaño por encima en el mundo de las ideas abstractas. Esto es de suma importancia, porque en el planteamiento de la cuadratura del círculo y otros parecidos, la humanidad conseguía dotarse de unos instrumentos que fueron los gérmenes de la lógica como método para probar las cosas.
El problema propuesto por Anaxágoras se hizo tan popular, que saltó de los ámbitos matemáticos a otras áreas de la cultura. Por ejemplo en la comedia de Aristófanes "Aves", aparece el siguiente dialogo
METÓN
.-Quiero medir las llanuras aéreas, y dividirlas en parcelas.
PISTETERO
.-En nombre de los dioses, quién eres?
METÓN
.-¿Quién soy? Metón, conocido en toda la Hélade y en la aldea de Colona.
PISTETERO
.-Dime, ¿qué es eso que traes ahí?
METÓN
.-Reglas para medir el aire. Pues todo el aire, en su forma general, es enteramente parecido a un horno. Por tanto, aplicando por arriba esta línea curva y ajustando el compás... ¿Comprendes?
PISTETERO
.-Ni una palabra.
METÓN
.-Con esta otra regla trazo una línea recta, cuadro el círculo y coloco en su centro el Agora; a ella afluirán de todas partes calles derechas, del mismo modo que del sol, aunque es circular, parten rayos rectos en todas direcciones.
PISTETERO
.-¡Este hombre es un Táles... Metón!
El problema sin todavía solución saltaba al imaginario popular, se convertía por derecho propio, en una de esas ideas que pasan a la historia como enigmas cuya clave queda reservada a un elegido que en algún momento la resolverá. A partir de este momento, ya los Griegos utilizaron la expresión "cuadrar el círculo" como sinónimo de buscar lo imposible, intuyendo el final, pero no dándose por vencidos. Otros muchos estudiosos Griegos de la geometría estudiaron de una u otra forma el problema, dando todo ese esfuerzo intelectual avances como el cálculo de la duración del mes lunar de Oenópides, o la espiral de Arquímedes resultado de la combinación de un movimiento en línea recta y uno circular.
Saltando en el tiempo, y heredando el saber Griego, la siguiente gran cultura en tratar de resolver el problema fue la Árabe. Matemáticos como Alhazen escribieron sobre el tema al mismo tiempo que hacían grandes descubrimientos en campos como la óptica o el estudio de la luz, y ya iban intuyendo que el problema era de solución imposible. En la Europa medieval el problema fue mayoritariamente objeto de estudio de alquimistas retrocediendo por detrás de los griegos en la comprensión y dimensión del problema. Ya en el renacimiento Europa volvió al nivel que había adquirido casi 2000 años antes.
Nos vamos pues hasta el siglo XV Europeo, y más concretamente hasta Nicolás de Cusa. Este matemático alemán, persiguiendo el sueño de cuadrar el círculo mediante el método de ir inscribiendo y circunscribiendo polígonos sobre círculos, se preguntaba si acaso podemos considerar los polígonos iguales a la circunferencia en el infinito. La cuestión era si se podía decir que un círculo era un polígono con infinito número de lados. La respuesta que dio Nicolás de Cusa fue un rotundo no. El consideraba que un polígono era de diferente especie a un círculo, no simplemente una diferencia de magnitud. Con estas ideas se abrían nuevos campos en la geometría. Se daba un paso hacia un nuevo estado del conocimiento que sobrepasaba la geometría euclidiana. El problema siguió excitando las mentes de grandes hombres del renacimiento como Leonardo, que trató de resolverlo mediante su aproximación mecánica a las matemáticas.
Poco a poco el ser humano se iba dando cuenta de que el problema parecía ser irresoluble tal y como estaba planteado por los Griegos con su geometría plana. Así que progresivamente empezaron a aparecer intentos de demostrar esta intuición. También durante esta búsqueda de demostrar la imposibilidad se dieron avances en las matemáticas, como los del Escocés James Gregory que hizo grandes avances en el estudio de series convergentes infinitas y trató de demostrar sin éxito que el problema de la cuadratura era irresoluble.
Un paso importante en el camino a demostrar la irresolubilidad del problema lo dio Johann Heinrich Lambert que probó que Pi era un número irracional. Sin embargo algunos números de este tipo pueden seguir construyéndose con regla y compás, por lo que la esperanza de encontrar solución aun quedó en el imaginario popular. Tanto es así, tan fuerte era la fascinación que ejercía el problema sobre la sociedad, que cientos de matemáticos amateurs seguían intentando buscar soluciones al mismo. Eran tantas las peticiones de comprobación que la Académie des Sciences Francesa o la Royal Society Británica, prohibieron enviar posibles soluciones del problema a las mismas para ser comprobadas.
La solución final al problema, o más bien el dramático final al mismo, ocurrió en 1880 cuando Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que Pi es un número transcendental, o lo que es lo mismo, que no es ninguna raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.
A efectos prácticos, aquí se terminó la búsqueda a la solución del problema planteado por los Griegos, no existía. Durante más de 2000 años el ser humano había estado persiguiendo lo imposible. Al igual que Sísifo, cada vez que llegaba a lo alto de la montaña empujando su roca, esta volvía a rodar ladera abajo haciendo aparentemente inútil su esfuerzo. Es aquí a donde quería yo llegar, a la aparente inutilidad de nuestros esfuerzos diarios. En tiempos de crisis puede parecer que el trabajo que desarrollamos, lo que aportamos a nuestra familia y la sociedad, no sirve para nada, es un esfuerzo baldío. Pero al contrario de la moraleja que propone el cuento de Camus que he nombrado al principio, la mía es que cada pequeño paso que damos, cada empujón con el que ayudamos a alguien, cada pensamiento que nos ocupa, hace que el ser humano evolucione y que todos, cada uno de nosotros, sea una parte importante de esa historia. A veces hacen falta más de dos milenios, como en el caso de la cuadratura del círculo, para que nos demos cuenta de que un problema no tiene solución. Pero la capacidad del ser humano de relacionar, de generar conocimiento a través de enlazar experiencias, intuiciones y sentimientos, hace que para él, la búsqueda de lo imposible también sea un hecho productivo.
(dibujo extraído de la wikipedia)El comienzo de esta historia nos lleva al siglo V antes de Cristo, a Anaxágoras de Clazomene. Este filósofo griego, que marchó de su Clazomene natal hacia Atenas al ser esta destruida. Fue condenado a prisión por sostener que el sol era una masa de hierro candente, y la luna una roca procedente de la tierra que se limitaba a reflejar lo que el astro rey iluminaba. Mientras estaba en prisión estudió formalmente la posibilidad de cuadrar el círculo. En este punto es importante reflejar que los Griegos, a diferencia de los Egipcios y otras civilizaciones, se interesaban en esa parte abstracta y no práctica de la matemática, y distinguían muy claramente lo exacto de lo aproximado. Los Egipcios ya habían dado con aproximaciones muy certeras del problema, pero los Griegos, y Anaxágoras como iniciador del problema, se apartaban de la concepción práctica (de la que hablé en este otro post) y subían un peldaño por encima en el mundo de las ideas abstractas. Esto es de suma importancia, porque en el planteamiento de la cuadratura del círculo y otros parecidos, la humanidad conseguía dotarse de unos instrumentos que fueron los gérmenes de la lógica como método para probar las cosas.
El problema propuesto por Anaxágoras se hizo tan popular, que saltó de los ámbitos matemáticos a otras áreas de la cultura. Por ejemplo en la comedia de Aristófanes "Aves", aparece el siguiente dialogo
METÓN
.-Quiero medir las llanuras aéreas, y dividirlas en parcelas.
PISTETERO
.-En nombre de los dioses, quién eres?
METÓN
.-¿Quién soy? Metón, conocido en toda la Hélade y en la aldea de Colona.
PISTETERO
.-Dime, ¿qué es eso que traes ahí?
METÓN
.-Reglas para medir el aire. Pues todo el aire, en su forma general, es enteramente parecido a un horno. Por tanto, aplicando por arriba esta línea curva y ajustando el compás... ¿Comprendes?
PISTETERO
.-Ni una palabra.
METÓN
.-Con esta otra regla trazo una línea recta, cuadro el círculo y coloco en su centro el Agora; a ella afluirán de todas partes calles derechas, del mismo modo que del sol, aunque es circular, parten rayos rectos en todas direcciones.
PISTETERO
.-¡Este hombre es un Táles... Metón!
El problema sin todavía solución saltaba al imaginario popular, se convertía por derecho propio, en una de esas ideas que pasan a la historia como enigmas cuya clave queda reservada a un elegido que en algún momento la resolverá. A partir de este momento, ya los Griegos utilizaron la expresión "cuadrar el círculo" como sinónimo de buscar lo imposible, intuyendo el final, pero no dándose por vencidos. Otros muchos estudiosos Griegos de la geometría estudiaron de una u otra forma el problema, dando todo ese esfuerzo intelectual avances como el cálculo de la duración del mes lunar de Oenópides, o la espiral de Arquímedes resultado de la combinación de un movimiento en línea recta y uno circular.
Saltando en el tiempo, y heredando el saber Griego, la siguiente gran cultura en tratar de resolver el problema fue la Árabe. Matemáticos como Alhazen escribieron sobre el tema al mismo tiempo que hacían grandes descubrimientos en campos como la óptica o el estudio de la luz, y ya iban intuyendo que el problema era de solución imposible. En la Europa medieval el problema fue mayoritariamente objeto de estudio de alquimistas retrocediendo por detrás de los griegos en la comprensión y dimensión del problema. Ya en el renacimiento Europa volvió al nivel que había adquirido casi 2000 años antes.
Nos vamos pues hasta el siglo XV Europeo, y más concretamente hasta Nicolás de Cusa. Este matemático alemán, persiguiendo el sueño de cuadrar el círculo mediante el método de ir inscribiendo y circunscribiendo polígonos sobre círculos, se preguntaba si acaso podemos considerar los polígonos iguales a la circunferencia en el infinito. La cuestión era si se podía decir que un círculo era un polígono con infinito número de lados. La respuesta que dio Nicolás de Cusa fue un rotundo no. El consideraba que un polígono era de diferente especie a un círculo, no simplemente una diferencia de magnitud. Con estas ideas se abrían nuevos campos en la geometría. Se daba un paso hacia un nuevo estado del conocimiento que sobrepasaba la geometría euclidiana. El problema siguió excitando las mentes de grandes hombres del renacimiento como Leonardo, que trató de resolverlo mediante su aproximación mecánica a las matemáticas.
Poco a poco el ser humano se iba dando cuenta de que el problema parecía ser irresoluble tal y como estaba planteado por los Griegos con su geometría plana. Así que progresivamente empezaron a aparecer intentos de demostrar esta intuición. También durante esta búsqueda de demostrar la imposibilidad se dieron avances en las matemáticas, como los del Escocés James Gregory que hizo grandes avances en el estudio de series convergentes infinitas y trató de demostrar sin éxito que el problema de la cuadratura era irresoluble.
Un paso importante en el camino a demostrar la irresolubilidad del problema lo dio Johann Heinrich Lambert que probó que Pi era un número irracional. Sin embargo algunos números de este tipo pueden seguir construyéndose con regla y compás, por lo que la esperanza de encontrar solución aun quedó en el imaginario popular. Tanto es así, tan fuerte era la fascinación que ejercía el problema sobre la sociedad, que cientos de matemáticos amateurs seguían intentando buscar soluciones al mismo. Eran tantas las peticiones de comprobación que la Académie des Sciences Francesa o la Royal Society Británica, prohibieron enviar posibles soluciones del problema a las mismas para ser comprobadas.
La solución final al problema, o más bien el dramático final al mismo, ocurrió en 1880 cuando Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que Pi es un número transcendental, o lo que es lo mismo, que no es ninguna raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.
A efectos prácticos, aquí se terminó la búsqueda a la solución del problema planteado por los Griegos, no existía. Durante más de 2000 años el ser humano había estado persiguiendo lo imposible. Al igual que Sísifo, cada vez que llegaba a lo alto de la montaña empujando su roca, esta volvía a rodar ladera abajo haciendo aparentemente inútil su esfuerzo. Es aquí a donde quería yo llegar, a la aparente inutilidad de nuestros esfuerzos diarios. En tiempos de crisis puede parecer que el trabajo que desarrollamos, lo que aportamos a nuestra familia y la sociedad, no sirve para nada, es un esfuerzo baldío. Pero al contrario de la moraleja que propone el cuento de Camus que he nombrado al principio, la mía es que cada pequeño paso que damos, cada empujón con el que ayudamos a alguien, cada pensamiento que nos ocupa, hace que el ser humano evolucione y que todos, cada uno de nosotros, sea una parte importante de esa historia. A veces hacen falta más de dos milenios, como en el caso de la cuadratura del círculo, para que nos demos cuenta de que un problema no tiene solución. Pero la capacidad del ser humano de relacionar, de generar conocimiento a través de enlazar experiencias, intuiciones y sentimientos, hace que para él, la búsqueda de lo imposible también sea un hecho productivo.
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